1º.- Instala el Mysqldumper:
http://www.mysqldumper.net/
Lo descargas de ahi, lo subes a tu host, configuras los detalles de tu BD.
Generas una "Copia de Seguridad" y la descargas a tu pc.
2º.- Filezilla u otro FTP: copias todo el contenido del host a tu Pc.
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Una vez en el nuevo host, y luego de haber cambiado las DNS, Creas una BD desde el cpanel y subes todos los archivos con filezilla. Editas el archivo de configuracion del foro (/inc/config.php) con los parametros del nuevo host.
$config['database']['type'] = 'mysqli';
$config['database']['database'] = 'zoby_1111111_mybb';
$config['database']['table_prefix'] = 'mybb_';
$config['database']['hostname'] = 'sql111.zobyhost.com';
$config['database']['username'] = 'zoby_1111111';
$config['database']['password'] = 'el del host';
Luego ejecutas el mysqldumper y restauras la BD.
Seguramente vas a tener algunas dudas, pues el cpanel de este host es un poco engorroso. No dudes en preguntar lo que necesites!.
Saludos!.
Edit:
ahora que reviso tu sitio, tiene chat y plugins que usan AJAX. El host free que te recomende no acepta eso, porque consumen mucho cpu. No creo que consigas un host gratuito para un foro pesado como queres hacer... me parece que vas a tener que comprar alguno barato. Para aca (argentina) tenes uno bien barato y que podes pagar por rapigado, es
http://www.hostrentable.com/ . No lo probe... de cualquier forma, el metodo para hacer backup y restaurar es la misma para cualquier host.
Edit2:
Che!, ahora que veo tu foro... esta vacio!. No vale la pena renegar tanto con los backups, instala uno nuevo y ya. De paso, instala el 1.6 que es mas nuevo, a los plugins solo los tenes que copiar a la carpeta /inc/plugins y listo. No reniegues...