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Igual te adelanto... para hacer backup de DB lo mejor que hay es mysqldumper. Tienes que descargarlo de:
http://www.mysqldumper.net/
Lo subes a una carpeta de tu actual foro, lo descomprimes e instalas. Cuando lo instales te pedira los detalles de la BD que queres tratar... solo pudes trabajar con 1 BD. (si tenes varias instala 1 mysqldumper en distintas carpetas configurado para cada BD).
Lo demas es muy sencillo, seleccionas que haga un backup, el mismo lo guarda en la carpeta /work , o sino podes descargarlo desde el mismo programa, te da esa opcion.
Cuando te mudes a un nuevo host, tenes que crear una BD desde el cpanel con el mismo nombre que la anterior, instalas el mysqldumper para esa BD, y restauras el backup.
Es muy simple, es dificil de explicar pero revisalo que esta en español y es sencillo.
Saludos!.
Edit: agrego, eso que te ocnte es para la BD (base de datos), para los archivos, tienes que usar un FTP, puede ser Filezilla, lo que debes hacer es descargar todos los archivos de tu host a tu PC, para despues volverlos a subir de la misma manera.